Teorema de la Probabilidad Total.

Utilizaremos la probabilidad total cuando queramos hallar la probabilidad de un suceso A, que es posterior a otros sucesos anteriores a él y donde P(A) depende de los resultados que se den en los sucesos anteriores.

Los sucesos anteriores a A, esto es, H₁, H₂, …, H_n, se denominan hipótesis o sucesos a priori y deben formar un sistema completo de sucesos, es decir, tiene que ser incompatibles y su unión ha de dar lugar al espacio muestral.

La probabilidad de que ocurra el suceso A vendrá dada por la siguiente expresión:

P(A) = P(A/H_1) \cdot P(H_1) + P(A/H_2) \cdot P(H_2) + ... + P(A/H_n) \cdot P(H_n)

Teorema de Bayes

Se trata de hallar una probabilidad condicionada en la que se conoce el resultado final, suceso a posteriori, y se busca la probabilidad de un suceso anterior, suceso a priori. En definitiva, se pretende hallar la probabilidad de un suceso anterior, sabiendo el resultado posterior.

A los sucesos anteriores se los denomina hipótesis o sucesos a priori y se los designa mediante H₁, H₂, ..., H_n. El Teorema de Bayes permite hallar la probabilidad de que se dé una de las hipótesis, H_i, mediante la siguiente fórmula:

P(H_i/A) = \dfrac{P(A/H_i) \cdot P(H_i)}{P(A)}

Y aplicando el Teorema de la Probabilidad Total se tiene:

P(A) = P(A/H_1) \cdot P(H_1) + P(A/H_2) \cdot P(H_2) + ... + P(A/H_n) \cdot P(H_n)

Tarea multnivel

Nivel básico

Tenemos tres urnas. La primera contiene 4 bolas rojas y 4 negras; la segunda, 3 rojas y 1 negra y la tercera, 2 rojas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y después extraemos una bola. Calcula:

a) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.

b) Si la bola extraída es roja, la probabilidad de que haya sido extraída de la primera urna.

Nivel intermedio

En un hospital de la región de Murcia se está probando una nueva terapia para dejar de fumar. De los pacientes que entran en este ensayo el 45% prueba la terapia y el resto no. Después de un año el 70% de los que siguieron la terapia y el 40% de los que no la siguieron han dejado de fumar. Se elige al azar a un paciente fumador de este hospital:
a) Calcule la probabilidad de que después de un año haya dejado de fumar.
b) Si transcurrido un año el paciente sigue fumando, calcule la probabilidad de que haya seguido la
nueva terapia.

(Fuente: EBAU Murcia - septiembre 2019)

Nivel avanzado

Una especie de tortuga pone huevos en dos estaciones: primavera y verano. La probabilidad de que ponga huevos es primavera es k y en verano k/2.

a) Elabora un diagrama de árbol que describa el problema.
b) Sabiendo que la probabilidad de que no ponga huevos ni en primavera ni en verano es 5/9, calcular el valor de k.
c) Sabiendo que no ha puesto huevos en verano,¿ cual es la probabilidad de que los pusiera en primavera?
d) ¿Son independientes los sucesos del apartado anterior?

Nivel básico

Tenemos tres urnas. La primera contiene 4 bolas rojas y 4 negras; la segunda, 3 rojas y 1 negra y la tercera, 2 rojas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y después extraemos una bola. Calcula:

Se definen los siguientes sucesos:

N="la bola extraía es negra"

R="la bola extraída es roja"

U_i="la bola extraída es de la urna i"

a) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.

Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total se tiene:

P(N) = P(N/U_1) \cdot P(U_1) + P(N/U_2) \cdot P(U_2) + P(N/U_3) \cdot P(U_3)

P(N) = \dfrac{4}{8} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{24} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{4}{18} = \dfrac{17}{36} = 0,472

b) Si la bola extraída es roja, la probabilidad de que haya sido extraída de la primera urna.

Por tanto:

P(U_1/R)=\dfrac{P(R/U_1) \cdot P(U_1)}{P(R)} = \dfrac{P(R/U_1) \cdot P(U_1)}{P(R/U_1) \cdot P(U_1)+P(R/U_2) \cdot P(U_2)+P(R/U_3) \cdot P(U_3)}

P(U_1/R)= \dfrac{\dfrac{4}{8} \cdot \dfrac{1}{3}}{ \dfrac{4}{8} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{4}{24}}{\dfrac{4}{24}+\dfrac{3}{12}+\dfrac{2}{18}} = \dfrac{\dfrac{4}{24}}{\dfrac{19}{36}}=\dfrac{6}{19}=0.3158

Nivel intermedio

Se definen los siguientes sucesos:

D = "Deja de fumar al cabo de un año"

T = "Prueba la terapia"

a) Calcule la probabilidad de que después de un año haya dejado de fumar.

Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total se tiene:

P(D) = P(D/T) \cdot P(T) + P(D/\overline{T}) \cdot P(\overline{T}) = 0,7 \cdot 0,45 + 0,4 \cdot 0,55 = 0,535 = 53,5 \%

b) Si transcurrido un año el paciente sigue fumando, calcule la probabilidad de que haya seguido la nueva terapia.

Por el Teorema de Bayes se tiene:

P(T/\overline{D}) = \dfrac{P(\overline{D}/T) \cdot P(T)}{P(\overline{D})}=\dfrac{P(\overline{D}/T) \cdot P(T)}{1- P(D)}=\dfrac{0,3 \cdot 0,45}{1-0,535}=0,2903=29,03 \%

Nivel avanzado

Una especie de tortuga pone huevos en dos estaciones: primavera y verano. La probabilidad de que ponga huevos es primavera es k y en verano k/2.

a) Elabora un diagrama de árbol que describa el problema.

Hp = "pone huevos en primavera"

Hv = "poner huevos en verano"

Salvador Manzanares Guillén. *Diagrama de arbol* (Dominio público)

b) Sabiendo que la probabilidad de que no ponga huevos ni en primavera ni en verano es 5/9, calcular el valor de k.

P(H_p \cap H_v) = \dfrac {5}{9} \quad \text{Al ser sucesos independientes:} \quad P(H_p \cap H_v) = P(H_p) \cdot P(H_v)

(1-k) \cdot (1-\dfrac{k}{2}) = \dfrac{5}{9}; (1-k) \cdot (2-k) = \dfrac{10}{9}; 2 - 2k -k +k^2 = \dfrac{10}{9}; 9k^2 - 27k + 18 = 0

k_1 = 1 \text{(no válida)} \quad k_2 = \dfrac{1}{3}

c) Sabiendo que no ha puesto huevos en verano, ¿cuál es la probabilidad de que los pusiera en primavera?

P(H_p/\overline{H_v})=P(H_p) = k = \dfrac{1}{3}

d) ¿Son independientes los sucesos del apartado anterior?

Sí, son independientes, puesto que:

P(H_p \cap H_v)=P(H_p) \cdot P(H_v) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{18}