Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos

En ocasiones la probabilidad de un suceso se ve afectada si se conoce con anterioridad información sobre la realización de otro suceso relacionado con él. Esta situación se denomina probabilidad condicionada y se expresa como P(A/B), que es la probabilidad del suceso A condicionada por el suceso B, es decir, la probabilidad de que se obtenga el suceso A sabiendo que se ha obtenido previamente el suceso B. Para calcular esta probabilidad se puede usar la regla de Laplace:

P(A/B)=\dfrac{\text{nº casos de B que son favorables a A}}{\text{nº de casos de B}}

O también la siguiente expresión:

P(A/B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

De la anterior expresión se deduce que:

P(A \cap B) = P(A/B) \cdot P(B)

P(A \cap B) = P(B/A) \cdot P(A)

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Independencia de sucesos

Dos sucesos, A y B, son independientes si la obtención o no de uno de ellos no afecta a la probabilidad de que se obtenga el otro. Por el contrario, son dependientes si la obtención de uno de ellos hace variar la probabilidad de que se obtenga el otro. Por tanto:

\text{Si } P(A/B) = P(A) \text{ o } P(B/ A) = P(B) \text{, entonces A y B son independientes}

\text{Si } P(A/B) \neq P(A) \text{ o } P(B/ A) \neq P(B) \text{, entonces A y B son dependientes}

Si se conoce la probabilidad de la intersección de dos sucesos, se puede determinar fácilmente si ambos son dependientes o independientes, ya que:

\text{Si } P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \text{, entonces A y B son independientes}

\text{Si } P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B) \text{, entonces A y B son dependientes}

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Tarea multinivel

Nivel básico

Al extraer una carta de la baraja española, se consideran los siguientes sucesos:

F=”obtener una figura”
R=”obtener un rey”

Halla la probabilidad de R condicionada por F.
Halla la probabilidad de F condicionada por R.

Nivel intermedio

En una empresa de 200 empleados, 70 de los 100 hombres y 10 de las 100 mujeres son fumadores/as. Calcula la probabilidad de elegir un hombre condicionado a que sea fumador.

Nivel avanzado

Sabiendo que P(A^c) = 11/20, P(A/B) - P(B/A) = 1/24 y P(A ∩ B^c)=3/10, calcula:

a) P(A ∩ B) y P(B)
b) P(C) , siendo C otro suceso del espacio muestral, independiente de A y que verifica que P(A ∪ C) = 14/25.

Fuente: Prueba EBAU Matemáticas II (Madrid, junio 2024)

Nivel básico

Al extraer una carta de la baraja española, se consideran los siguientes sucesos:

F=”obtener una figura”
R=”obtener un rey”

a) Halla la probabilidad de R condicionada por F.

Se pide la probabilidad de R condicionada por F, P(R/F), es decir, probabilidad de obtener un rey sabiendo que la carta es una figura. En total tenemos 12 figuras en la baraja española, de las cuales, 4 son reyes, por lo tanto aplicando la regla de Laplace tendremos:

P(R/F)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}Otra forma de resolver el problema sería aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(R/F)=\dfrac{P(R \cap F)}{P(F)}=\dfrac{\dfrac{4}{40}}{\dfrac{12}{40}}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}

b) Halla la probabilidad de F condicionada por R.

Si se quiere calcular la probabilidad de F condicionada por R, P(F /R) , es decir, la probabilidad de obtener una figura sabiendo que la carta es un rey, la probabilidad será 1 puesto que se trata de un suceso seguro.

P(F/R)=1

Nivel intermedio

Elaboramos la siguiente tabla de contingencia:

	Mujeres	Hombres	Total
Fumadores	10	70	80
No Fumadores	90	30	120
Total	100	100	200

Aplicando la regla de Laplace se tiene:

P(H/F)=\dfrac{\text{nº de hombres fumadores}}{\text{nº de fumadores}} = \dfrac{70}{80} = \dfrac{7}{8} = 0,875

Dicha probabilidad se puede obtener también aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(H/F)=\dfrac{P(H \cap F)}{P(F)} = \dfrac{\dfrac{70}{200}}{\dfrac{80}{200}} = \dfrac{70}{80} = \dfrac{7}{8} = 0.875

Nivel Avanzado

Sabiendo que P(A^c) = 11/20, P(A/B) - P(B/A) = 1/24 y P(A ∩ Bc)=3/10, calcula:

a) P(A ∩ B) y P(B)

P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{11}{20} = \dfrac{9}{20}

P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}); \dfrac{9}{20} = P(A \cap B) + \dfrac{3}{10}; P(A \cap B) = \dfrac{9}{20} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{9-6}{20} = \dfrac{3}{20}

P(A/B) - P(B/A) = \dfrac{1}{24}; \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} - \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{1}{24}; \dfrac{\dfrac{3}{20}}{P(B)} - \dfrac{\dfrac{3}{20}}{\dfrac{9}{20}} = \dfrac{1}{24}; \dfrac{3}{20 \cdot P(B)} - \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{24}

\dfrac{3}{20 \cdot P(B)} = \dfrac{1}{24} + \dfrac{3}{9}; \dfrac{3}{20 \cdot P(B)} = \dfrac{3}{8};P(B)=\dfrac{8 \cdot 3}{20 \cdot 3}=\dfrac{2}{5}

b) P(C) , siendo C otro suceso del espacio muestral, independiente de A y que verifica que P(A ∪ C) = 14/25.

\text{Como A y C independientes, entonces } P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C) = \dfrac{9}{20} \cdot P(C)

\text{Además tenemos que } P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A \cap C); \dfrac{14}{25} = \dfrac{9}{20} + P(C) - P(A \cap C)

\text{Sustituyendo tenemos que } \dfrac{14}{25} = \dfrac{9}{20} + P(C) - \dfrac{9}{20} \cdot P(C)

\dfrac{14}{25} - \dfrac{9}{20} = P(C) - \dfrac{9}{20} \cdot P(C); \dfrac{11}{100} = \dfrac{11}{20} \cdot P(C); P(C) = \dfrac{20}{100}=0,2

Fuente: Prueba EBAU Matemáticas II (Madrid, junio 2024)